Las sucesiones numéricas son una rama de las matemáticas que nos permiten estudiar la evolución de un conjunto de números. Su estudio resulta fundamental en la resolución de distintos problemas, tanto teóricos como prácticos.
Regla general de una sucesión
Las sucesiones numéricas se caracterizan por tener una regla general que nos permite encontrar cualquier término de la sucesión sin necesidad de calcularlos todos. Esta regla se basa en la identificación de un patrón en los números de la sucesión.
La regla general de una sucesión es la ley de formación que sigue la sucesión. Puede ser una expresión matemática de cualquier tipo, siempre y cuando permita obtener cualquier término de la sucesión conocido el índice del término que queremos calcular.
En este sentido, cada sucesión numérica tiene una regla general propia que se basa en los números que la conforman, su orden y la relación que hay entre ellos.
Cómo encontrar la regla general de una sucesión
Para encontrar la regla general de una sucesión, es necesario identificar el patrón numérico que sigue. Este patrón puede ser más o menos evidente, y en algunos casos puede ser necesario emplear diferentes técnicas para encontrarlo.
Identificación de patrones
Una forma de encontrar el patrón que sigue una sucesión es observar los números que la conforman y tratar de identificar algún patrón numérico. Por ejemplo, podemos observar la sucesión 2, 4, 6, 8, 10… e identificar que se trata de los números pares.
En casos más complejos, puede resultar útil construir una tabla con los términos de la sucesión y observar la relación que hay entre ellos.
Cálculo de diferencias entre términos
Otra técnica para encontrar la regla general de una sucesión es calcular las diferencias entre los términos de la sucesión. Si estas diferencias son constantes, significa que se trata de una sucesión aritmética. Si las diferencias no son constantes, puede tratarse de una sucesión geométrica o de alguna otra serie matemática.
Segundas diferencias
En algunos casos, puede suceder que las primeras diferencias no sean constantes, pero que las segundas diferencias sí lo sean. Si este es el caso, entonces se trata de una sucesión cuadrática o de segundo grado.
Fórmulas matemáticas conocidas
En ocasiones, la regla general de una sucesión puede ser una fórmula matemática conocida, como la sucesión de Fibonacci o la sucesión de los números primos.
Ejemplos de sucesiones con reglas generales
Para entender mejor el concepto de regla general de una sucesión, es útil observar algunos ejemplos.
Sucesión de cuadrados
Esta sucesión está conformada por los cuadrados de los números naturales. Es decir, 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49… y así sucesivamente. La regla general de esta sucesión es an = n^2, donde n es el número que ocupa el término en la sucesión.
Sucesión de números pares
Esta sucesión está conformada por los números pares. Es decir, 2, 4, 6, 8, 10… y así sucesivamente. La regla general de esta sucesión es an = 2n, donde n es el número que ocupa el término en la sucesión.
Sucesión de Fibonacci
La sucesión de Fibonacci es una de las más conocidas en matemáticas. Está conformada por una serie de números obtenidos mediante la suma de los dos términos previos. Es decir, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13… y así sucesivamente. La regla general de esta sucesión es an = an-1 + an-2, donde n es el número que ocupa el término en la sucesión.
Sucesión de los músculos abdominales
El siguiente ejemplo ilustra cómo encontrar la regla general de una sucesión en un caso práctico. En una clase de primero de secundaria del lunes 17 de mayo de 2021 se propuso a los estudiantes reflexionar sobre una situación de entrenamiento físico con ejercicios isométricos. Se planteó un programa de entrenamiento de seis días para fortalecer los músculos abdominales, en el cual cada día se incrementa el tiempo de mantener la posición de plancha en 4 segundos. Se presentó una tabla con la duración en segundos de cada día del programa de entrenamiento.
Al analizar la tabla, se identifica que se trata de una sucesión aritmética, en la que el patrón numérico es de +4 segundos entre días consecutivos. Por lo tanto, la regla general de esta sucesión es 4n, donde n es el número de día del entrenamiento.
Para verificar si la regla general es correcta, debemos sustituir cada valor de “n” por su número correspondiente en la sucesión y obtener el resultado de cada término.
- Día 1: 4(1) = 4 segundos
- Día 2: 4(2) = 8 segundos
- Día 3: 4(3) = 12 segundos
- Día 4: 4(4) = 16 segundos
- Día 5: 4(5) = 20 segundos
- Día 6: 4(6) = 24 segundos
Como se puede apreciar, los valores obtenidos son los mismos que los de la tabla, por lo que la regla general 4n es correcta.
Cómo verificar la regla general de una sucesión
Para verificar que la regla general que hemos obtenido es correcta, debemos sustituir cada valor de “n” por su número correspondiente en la sucesión y obtener el resultado de cada término. Si los resultados obtenidos coinciden con la sucesión original, entonces podemos decir que la regla general es correcta.
Ejemplo de verificación de la regla general
Supongamos que tenemos la sucesión 3, 6, 9, 12, 15… y queremos encontrar su regla general. Observamos que hay una diferencia constante de 3 entre cada término de la sucesión, por lo que se trata de una sucesión aritmética con razón 3. Por lo tanto, la regla general es an = 3n, donde n es el número que ocupa el término en la sucesión.
Para verificar que esta regla general es correcta, debemos sustituir cada valor de “n” por su número correspondiente en la sucesión y obtener el resultado de cada término.
- Término 1: 3(1) = 3
- Término 2: 3(2) = 6
- Término 3: 3(3) = 9
- Término 4: 3(4) = 12
- Término 5: 3(5) = 15
Como podemos apreciar, los valores obtenidos coinciden con los de la sucesión original, por lo que la regla general es correcta.
Elección de la regla más simple
En algunos casos, una sucesión puede tener varias reglas generales posibles. En estos casos, es importante elegir la regla más simple que funcione, ya que esto nos permite simplificar cálculos y obtener resultados más precisos.
Ejemplo de elección de la regla más simple
Supongamos que tenemos la sucesión 2, 4, 6, 8, 10… y queremos encontrar su regla general. Observamos que se trata de una sucesión aritmética con razón 2, por lo que podemos decir que su regla general es an = 2n. Sin embargo, también podemos ver que esta sucesión se obtiene sumando 2 al término anterior, por lo que su regla general podría ser an = an-1 + 2.
En este caso, la regla más simple es an = 2n, ya que se trata de una fórmula matemática conocida que podemos aplicar de forma fácil a cualquier sucesión de números pares. Por lo tanto, siempre que sea posible, es recomendable elegir la regla general más simple y fácil de aplicar.
Conclusión
La regla general de una sucesión es la ley de formación que sigue la sucesión. Encontrar esta regla resulta fundamental en matemáticas y permite simplificar cálculos y obtener resultados más precisos. Para encontrar la regla general de una sucesión, es necesario identificar el patrón numérico que sigue. Esto puede hacerse mediante la identificación de patrones, el cálculo de diferencias entre términos, la identificación de segundas diferencias o el uso de fórmulas matemáticas conocidas. Es importante recordar que siempre que sea posible, debemos elegir la regla general más simple y fácil de aplicar.
En resumen, comprender el concepto de regla general de una sucesión resulta fundamental en el estudio de las matemáticas y en la resolución de distintos problemas.
