Antes de comenzar es importante mencionar que en el mundo de las matemáticas, como en cualquier otra área de conocimiento, la precisión en los términos y conceptos utilizados es fundamental para poder entender y aplicar debidamente las teorías. Es por eso que hoy hablaremos de una interrogante que puede ser muy común, pero que tiene una respuesta precisa: ¿Cuál es la diferencia entre el concepto de diferencial_teoremas_bsicos.html”>derivada y diferencial?
Para responder esta pregunta, es importante tener en cuenta algunos conceptos clave que nos ayudarán a entender mejor la diferencia entre la derivada y la diferencial en el cálculo diferencial.
¿Qué es la derivada?
Comencemos entonces definiendo la derivada. Se interpreta geométricamente la derivada como la pendiente de la recta tangente a la gráfica de una función. En resumen, la derivada de una función representa su tasa de cambio instantánea, es decir, cuánto cambia la función en un punto específico.
De esta forma, podemos decir que una función que tiene una derivada se dice ser “diferenciable”. La derivada se calcula mediante la operación de diferenciación o derivación, la cual nos permite encontrar la tasa de cambio instantánea de una función en un punto determinado.
¿Qué es la diferencial?
Ahora, hablemos de la diferencial. El concepto de diferencial está relacionado con el cambio infinitesimal de una variable con respecto a otra u otras.
La diferencial se enfoca en el estudio de los incrementos muy pequeños, cuando los cambios son más pequeños de lo que podemos medir o notar. En estos casos se usa el término “diferencial” para referirse al cambio infinitesimal.
Podemos decir que la diferencial es una versión diferencial del incremento utilizado en la derivada para el estudio de cambios muy pequeños.
La relación entre la derivada y la diferencial
Cómo podemos notar, ambas definiciones están relacionadas con el cambio infinitesimal en una función. A continuación, profundizaremos un poco más en la relación entre el concepto de derivada y diferencial.
Cálculo de cambios infinitesimales
Cuando el cambio en una función es muy pequeño, podemos estimar los cambios infinitesimales por medio de la fórmula: dy=f'(x)dx o bien df(x)~f'(x)dx. Esto nos indica que el cambio en la función “y” es igual a la multiplicación de la derivada en un punto específico “x” y el cambio en la variable independiente “x”.
En esta fórmula se utiliza el concepto de diferencial “dx” para hacer referencia a los incrementos muy pequeños que tienen lugar en la variable independiente, mientras que la derivada “f'(x)” representa la tasa de cambio instantánea en un punto específico que nos permite encontrar los cambios infinitos de la función.
Incrementos muy pequeños
Cuando nos enfocamos en ver cambios infinitesimales, las diferencias entre el concepto de derivada y diferencial se hacen más evidentes. La derivada es una simple tasa de cambio a niveles infinitesimales, mientras que la diferencial se usa cuando los incrementos son muy pequeños.
De esta forma, el término “diferencial” aparece en la fórmula para calcular el incremento de la función cuando el incremento es pequeño, y es mucho más utilizada en la aproximación de cambios muy pequeños. Para lograr esta aproximación se omiten términos cuadráticos o cúbicos del incremento que puedan ser aún más pequeños que el propio incremento.
Relación entre Gaston Colque y Gabriel Farber Johnston
Según Gaston Colque y Gabriel Farber Johnston, la relación entre la derivada y la diferencial es tal que ambas dependen el uno del otro. La derivada está definida como la razón de cambio cuando el incremento en x tiende a 0, mientras que la diferencial se enfoca en el estudio de los cambios infinitesimales de la función.
Al utilizar la fórmula de cambios infinitesimales, podemos notar cómo la relacion de la derivada y la diferencial se hace evidente, ya que en la fórmula se utilizan ambos conceptos para estimar el cambio en la función.
Definiciones de la derivada y la diferencial
Es importante mencionar que la derivada se divide en dos definiciones diferentes: la derivada en un punto y la derivada de una función. La primera se utiliza más comúnmente para encontrar la recta tangente en un punto específico, mientras que la segunda es más para las funciones en general.
La derivada se puede demostrar por definición y se puede definir como la razón de cambio cuando el incremento en x tiende a 0. Por otro lado, la diferencial se utiliza más para estudiar cambios muy pequeños en la función y se enfoca en el concepto de incrementos infinitesimales.
Un caso peculiar de diferenciabilidad
Edwin Alfonso Abregú Romero nos da un ejemplo interesante de que una función puede ser derivable pero no diferenciable. Cuando una función es derivable pero no diferenciable, significa que la derivada en un punto existe, pero que no se puede encontrar el diferencial en ese punto.
En teoría, si una función es diferenciable, entonces se puede derivar, sin embargo, si una función es derivable no implica necesariamente que sea diferenciable.
Conclusiones
En conclusión, la diferencia entre el concepto de derivada y diferencial se encuentra en la aplicación que se les da a cada uno de ellos. En términos sencillos, la derivada se concentra en encontrar la tasa de cambio instantánea de una función en un punto específico, mientras que la diferencial se enfoca en el estudio de los incrementos infinitesimales en la función.
La relación entre la derivada y la diferencial es tal de que ambas dependen una de la otra, ya que para calcular cambios infinitesimales se hace uso de ambas fórmulas. Por otro lado, es importante mencionar que, a pesar de su relación, ambas definiciones son diferentes y se utilizan para propósitos distintos.
En el mundo de las matemáticas, la precisión de los términos y conceptos utilizados es fundamental para poder entender y aplicar debidamente las teorías. Esperamos que esta breve explicación te haya ayudado a entender un poco más acerca de la diferencia entre la derivada y la diferencial.
